Улица названа в 1939 году в память о стратонавте, инженере и конструкторе стратостата «Осоавиахим – 1» Андрее Васенко. Вместе со стратонавтами Павлом Федосеенко и Ильей Усыскиным в январе 1934 года он поднялся на стратостате на высоту 22 километра. При спуске стратостат потерпел аварию и упал недалеко от села Инсарского района Мордовской АССР.
Прежнее название улицы – Тихвинский выгон – дано по находившейся вблизи Тихвинской церкви и городскому выгону для пастбища скота. В довоенное время улица Васенко была на окраине города. В 1932 году началось сооружение 3-х этажной республиканской больницы, в которой впоследствии работало много энтузиастов, сумевших поднять медицинское обслуживание региона на новый уровень.
В середине 30-х годов на улице Васенко начали строить многоэтажные дома. Следующий строительный этап начался в 50-е годы – построили школу №17. В апреле 1959 года начал работу приборостроительный завод, а в ноябре этого же года состоялся пуск первой очереди завода медицинских препаратов. В 1966 году по улице пролегла троллейбусная трасса и пошел первый в городе троллейбус, а позднее открылись крупные магазины.
В настоящее время на улице располагается компания "Электровыпрямитель", музыкальная школа, лаундж-кафе "Summer Jam", медицинская клиника и многое другое.
